Identidades

Identidad de Argand

(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1

Identidades de Gauss

a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

a^3+b^3+c^3-3abc= 1/2 (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]

Identidades de Legendre

(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)
a+b)^2-(a-b)^2=4ab
(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2)

Identidades de Lagrange

(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ay-bx)^2
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(az-cx)^2+
(bz-cy)^2

Otras identidades

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:

Suma de cubos

a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)

Resta de cubos

a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de ''factorización'' ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (constrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).


(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3
(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3

La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias ''n''-ésimas:

Suma de potencias ''n''-ésimas

a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 -\cdots + b^{n-1})
aunque la fórmula anterior sólo es válida cuando n es impar.

Diferencia de potencias n-ésimas

a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 +\cdots + b^{n-1})


Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el TEOREMA DEL BINOMIO.