lunes, 18 de mayo de 2009

Identidades

Identidad de Argand

(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1

Identidades de Gauss

a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

a^3+b^3+c^3-3abc= 1/2 (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]

Identidades de Legendre

(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)
a+b)^2-(a-b)^2=4ab
(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2)

Identidades de Lagrange

(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ay-bx)^2
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(az-cx)^2+
(bz-cy)^2

Otras identidades

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:

Suma de cubos


a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)

Resta de cubos

a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de ''factorización'' ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (constrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).


(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3
(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3

La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias ''n''-ésimas:

Suma de potencias ''n''-ésimas

a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 -\cdots + b^{n-1})
aunque la fórmula anterior sólo es válida cuando n es impar.

Diferencia de potencias n-ésimas


a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 +\cdots + b^{n-1})


Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el TEOREMA DEL BINOMIO.

lunes, 4 de mayo de 2009

binomio al cubo o cubo de un binomio

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.



(a+b)^3= a^3 + a^2b + 3ab^2 + b^3






ejemplo:



(x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2 + (2y)^3



agrupando terminos:



(x+2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8^3





cuando la operacion del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.



(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 -b^3



ejemplo:



(x+2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2 - (2y)^3





agrupando terminos:



(x+2y)^3 = x^3 - 6x^2y + 2xy^2 - 8y^3




lunes, 27 de abril de 2009

Polinomio al cuadrado

Para elevar un polinomio con cualquer cantidad de terminos, se suman los cuadrados de cada termino individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de terminos.




(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ab+ac +bc)


(a+b+c+d)^2= a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2= (ab+ac+ad+bc+bd+cd)



ejemplo:



(3x+2y-5z)^2 = (3x + 2y - 5x)(3x + 2y - 5x)



multiplicando los monomios:



(3x+2y-5z)^2=3x·3x+3x·2y+3x·(-5z)+2y·3x+2y·2y+2y·(-5z)+(-5z)·3x+(-5z)·2y+(-5z)·(-5z)




agrupando terminos:



(3x+2y-5z)^2 = 9x^2 + 4y^2 + 25x^2 + 2(6xy-15xz-10yz)



luego:



(3x + 2y - 5z)^2 = 9x^2 + 4y^2 + 25z^2 + 12xy - 30xz - 20yz




lunes, 20 de abril de 2009

producto de dos binomios conjugados

Dos binomios que sólo se diferencien en el signo de la operación se denominan BINOMIOS CONJUGADOS.Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una DIFERENCIA DE CUADRADOS.





(a+b) (a-b) = a^2 - b^2





Ejemplo:



(3x+5y) (3x-5y) =
(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (3x)(5y) + (5y)(-5y)




agrupando terminos:



(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2.



productos de dos binomios con un termino común



Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.





(x+a) (x+b) = x^2 + (a+b)x + ab


Ejemplo:


(3x+4) (3x+7) = (3x)(3x) + (3x) (-7) + (3x) (4) + (4) (-7)


agrupando terminos:


(3x + 4) (3x-7) =9x^2 - 21x + 12x - 28


luego:


(3x + 4) (3x-7) = 9x^2 - 9x - 28.

binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio


Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

un trinomio de la forma: a^2 + 2ab + b^2, se conoce como TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.


En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo. Ejemplo:


(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2

simplificando:

(2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2.

lunes, 13 de abril de 2009

factor común






  • El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva :
c (a+b)=ca+cb




Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (elproducto de la vase por altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).




ejemplo:

3x(4x+6y)=12x^2+18xy.



lunes, 6 de abril de 2009

¿Qué son los productos notables?

Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de

muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.
Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.